вариант 4, Теория вероятности и математическая статистика

1.4. Владелец билета лотереи «Спортлото» (8 из 40) зачеркивает 8 номеров. Какова вероятность того, что им будет угадано 7 из 8 выигрышных номеров в очередном тираже?

2.4. В ящике имеется 12 деталей, из которых 5 деталей нестандартные. Сборщик наудачу извлекает из ящика 3 детали. Какова вероятность того, что все они будут нестандартными? Что только 2 из 3-х будут нестандартными?

3.4. Хлебные изделия одного наименования изготавливаются двумя заводами. Первый завод поставляет 70% всех изделий, поступающих на продажу, а второй – 30%. Вероятность изготовления первым закодом качественного хлебного изделия равна 0,8; для изделий, изготовленных вторым заводом, эта вероятность равна 0,9. Определить вероятность купить наудачу качестнное хлебное изделие. Купленное хлебное изделие оказалось качественным, какова вероятность, что оно изготовлено на первом заводе?

4.4. Задана вероятность 0,63 того, что семя злака прорастет. Требуется найти вероятности того, что:

а) из 7 семян прорастет не более 4 штук; хотя бы одно семя;

б) из 450 семян прорастет ровно 285 штук;

в) из 450 семян прорастет не менее 4, но не более 285 штук.

5.4. Указаны законы распределения независимых дискретных случайных величин X и Y. Случайная величина Z определяется выражением . Требуется найти математическое ожиадние M(Z), дисперсию D(Z) и среднее квадратическое отклонение  дискретной случайной величины Z.

6.4. Непрерывная случайная величина X задана с помощью интегральной функции распределения F(x). Требуется:

а) Найти дифференциальную функцию распределения f(x) случайной величины X;

б) Найти математическое ожидание M(X) и  дисперсию D(X) случайной величины X;

в) вычислить и изобразить геометрически вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал ;

г) построить графики функций распределения F(x) и f(x).

7.4. На поточной линии разливают напиток в пакеты объемом 1500 мл с точностью . Считая что случайные ошибки при разливе подчинены нормальному закону, найти вероятность того, что в наугад взятом пакете окажется не более 1550 и не менее 1470 мл напитка. Каков процент пакетов с ошибкой разлива не более 45 мл? Каков гарантированный минимум и возможный максимум объема напитка в пакете? Построить график функции распределения f(x) и проиллюстрировать найденные вероятности графически.

8.4. Известно, что случайная величина X распределена равномерно с параметрами [1.0; 2.0], а случайная величина Y распределена показательно с параметром λ=0,3. Требуется:

а) найти математические ожидания M(X), M(Y) и средние квадратические отклонения  случайных величин X, Y;

б) вычислить вероятности попадания случайных величин X, Y в интервал ;

в) построить графики функций распределения F(x) и f(x) для случайных величин X и Y, а также проиллюстрировать найденные вероятности графически.

9.4. Задана выборка значений признака X объемом n=100. Требуется:

а) составить интервальное распределение выборки;

б) построить гистограмму относительных частот;

в) найти эмпирическую функцию распределния и построить ее график;

г) вычислить несмещенные точечные оценки математического лжидания и дисперсии признака X;

д) на уровне значимости  проверить с помощью критерия Пирсона гипотезу о нормальном распределении признака X в генеральной совокупности по данным выборочной совокупности объемом n=100;

г) считая первую строку таблицы новой выборкой значений нормально распределенного признака Y объемом n=10, построить доверительные интервалы, покрывающие неизвестные математическое ожидание и дисперсию признака Y с надежностью